“0.999…=1’’ が納得できないワケ 〜どこよりも丁寧に証明〜

代数

私が小学生の頃でしょうか。なぞなぞで

「“\(2.999\cdots\)’’ が表す職業は?」

といったものがありました。これは “\(3\) に近いけど \(3\) ではなく、大体 \(3\) である’’ ということで「保母さん」(ほぼ \(3\))が答えだったと記憶しています。

(「保母」とは現在の「保育士」に当たる職業であって、1999年の男女雇用機会均等法の改正に合わせて児童福祉法施行令が改正されるまで正式な名称として用いられていました。)

これはなぞなぞであるので、細かいところに突っ込んで非難するつもりは全くありません。むしろ、なぞなぞ特有の “ゆるさ’’ が物事に疑問を持つ素晴らしいきっかけを与えてくれるのです。

今回の疑問のきっかけは

「“ほぼ’’ \(3\) ってどういうことなの?」

です。

本記事では、

  • 本格的な数学の考え方を、どこよりも丁寧に、そして可能な限り具体的に説明すること
  • 普段は算数や数学と距離のある方にも、読み進めることで “数学’’ を感じていただけること

を目指したいと思います。(文字(アルファベット)を一切使わないことにも挑戦します。

 

解決したい問題を明確にしましょう。

「“ほぼ’’ \(3\)」とは、本当に \(3\) ではないのでしょうか?

それとも、実は \(3\) だったというオチがつくのでしょうか?

 

中学生の頃、小数点以下に周期のあるものを循環小数と呼んでいました。その頃の記憶がある方は「これが \(3\) に等しいこと」を計算して示した記憶があるかもしれません。そうです、実はこの \(2.999\cdots\) という数は \(=3\) となるのです!

 

問題は、なぜ \(3\) になるのかですよね。

その “中学数学なりの証明’’(\(10\) 倍して差をとる方法)は中学数学の教科書に載っています。

また “高校数学なりの証明’’(無限等比級数の和を計算する方法)も存在していて、それは高校数学の教科書に載っています。

そういった “◯◯なりの証明’’ ではなく、数学という学問で文句なく通用する本格的な証明を考えたいと思います。但し、冒頭で述べたように、抽象的な議論は極力避けたいと思います。

 

さて、これから \(2.999\cdots=3\) となることを示したいのですが、もう少し単純な

\(0.999\cdots=1\)

であることを示せれば、両辺に \(2\) を加えることで \(2.999\cdots=3\) を得ることができますよね。そこで、我々は次の問題を解決したいと思います。

  1. \(0.999\cdots=1\) であることを証明する。
  2. \(0.999\cdots=1\) に対する反論に答える。

 

\(0.999\cdots=1\) となることを本格的に証明する。

\(0.999\cdots=1\) となることの証明をしてゆきましょう。

“\(0.999\cdots\)’’ の定義とは?

\(0.999\cdots\) という普段使わない数について考える前に、\(0.999\) という見慣れた数について考えてみましょう。

この \(0.999\) という数を小数を用いない形に書き直します。各位の数に分割して考えると
\begin{align*}
0.999
&=0.9+0.09+0.009\\
&=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}\\
&=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}
\end{align*}となります。\(10^3\) は \(1000\) ですし、\(10^5\) は \(100000\) ですし、\(10^{100}\) は \(1\) の右に \(0\) が \(100\) 個並ぶとても大きな数です。

さて、\(0.999\cdots\) は \(0.999\), \(0.9999\), \(0.99999\) のように、ひたすらに \(9\) を “無限に’’ 並べた数です。その “無限’’ を表すために “\(\cdots\)’’ を書いているのです。\(0.999\) と同様に小数を用いない形に書き直すことを試みると
\begin{align*}
0.999\cdots
&=0.9+0.09+0.009+\cdots\\
&=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots\\
&=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\cdots
\end{align*}となります。最後の \(\cdots\) の部分には \(\displaystyle \frac{9}{10^4}\), \(\displaystyle \frac{9}{10^5}\), \(\displaystyle \frac{9}{10^6}\) がどこまでも続きます。

引き算を用いて足し算を計算する!

小数の「\(\cdots\)」が足し算の「\(\cdots\)」に姿を変えましたね。そこで、膨大な個数の数の足し算を楽に計算する方法を考えましょう。

やはり、\(0.999\) からヒントを得られないか考えます。先ほどの計算において登場する数は \(1\) と \(9\) と \(10\) です。これらは「\(9=10-1\)」という関係があるので、これを適用してみると
\begin{align*}
0.999
&=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}\\
&=\frac{10-1}{10}+\frac{10-1}{10^2}+\frac{10-1}{10^3}\\
&=\left(\frac{10}{10}-\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{10}{10^2}-\frac{1}{10^2}\right)+\left(\frac{10}{10^3}-\frac{1}{10^3}\right)\\
&=\left(1-\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{10^2}\right)+\left(\frac{1}{10^2}-\frac{1}{10^3}\right)\\
&=1+\left(-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\right)+\left(-\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^2}\right)-\frac{1}{10^3}\\
&=1+0+0-\frac{1}{10^3}\\
&=1-\frac{1}{10^3}
\end{align*}となります。

小数点以下に \(9\) が \(3\) 個続くので \(\displaystyle 1-\frac{1}{10^3}\) となります。

小数点以下に \(9\) が \(5\) 個続くと \(\displaystyle 1-\frac{1}{10^5}\) となります。

小数点以下に \(9\) が \(100\) 個続くと \(\displaystyle 1-\frac{1}{10^{100}}\) となります。

つまり、小数点以下に続く \(9\) の個数が増えれば増えるほど、 \(\displaystyle \frac{1}{10^{100}}\) のような極めて小さい正の数を \(1\) から引くことで小数の計算ができるのです。

いくらでも大きい数が存在する!

\(0.999\cdots\) が \(1\) であるか否かを考えたいので、\(0.999\cdots\) と \(1\) との “近さ” を測りたいと思います。

例えば、\(0.999\) と \(1\) との距離は数の引き算をすることで測れるので
$$
1-0.999=1-\left(1-\frac{1}{10^3}\right)=\frac{1}{10^3}
$$が距離となります。

小数点以下に \(9\) が \(3\) 個続くので距離は \(\displaystyle \frac{1}{10^3}\) となります。

小数点以下に \(9\) が \(5\) 個続くと距離は \(\displaystyle \frac{1}{10^5}\) となります。

小数点以下に \(9\) が \(100\) 個続くと距離は \(\displaystyle \frac{1}{10^{100}}\) となります。

=====
つまり、距離がどんなに小さくなることを要請されたとしても、例えば小数点以下に続く \(9\) の個数を \(1000\) 個のように多く設定することで、実際の距離が \(\displaystyle \frac{1}{10^{1000}}\) のようにいくらでも小さくできるというわけです。
=====

このような当たり前に思える事実(いくらでも大きな自然数が存在すること)にも名前がついていて、これを「アルキメデス性」と呼びます。このあたりについて詳しく知りたい方は、これをキーワードにして調べてみてください。

限りなく近づくことを示すためには?

さて、証明も大詰めです。

\(0.999\cdots=1\) のような “無限’’ を含む等式を証明するためには何が言えれば良いのでしょうか?これには数学的な「定義」が存在します。

 

\(1\) との距離をどんな正の数に設定されたとしても、
小数点以下に続く \(9\) の個数の基準を上手く定めることで、
それより \(9\) の個数が多い小数と \(1\) との距離を
初めに設定された距離よりも小さくすることができる。

 

この定義を理解できるかが、この証明を理解できるかの鍵です。これの元の理論は極めて抽象的で、理系の大学生でも理解に苦労し、挫折する人もいます…。具体例を通して、感覚的にで良いので雰囲気を掴みましょう。

例えば、

  1. \(1\) との距離を \(0.001\) 未満にして欲しいと設定されたとします。
  2. このとき、小数点以下に続く \(9\) の個数の基準を \(3\) 個と定めます。
  3. これより \(9\) の個数が多い場合の距離は \(\displaystyle \frac{1}{10^4}\), \(\displaystyle \frac{1}{10^5}\), \(\displaystyle \frac{1}{10^6}\) と続きます。
  4. これらは全て \(0.001\) より小さくなっていますね!

例えば、

  1. \(1\) との距離を \(0.00002\) 未満にして欲しいと設定されたとします。
  2. このとき、小数点以下に続く \(9\) の個数の基準を \(5\) 個と定めます。
  3. これより \(9\) の個数が多い場合の距離は \(\displaystyle \frac{1}{10^6}\), \(\displaystyle \frac{1}{10^7}\), \(\displaystyle \frac{1}{10^8}\) と続きます。
  4. これらは全て \(0.00002\) より小さくなっていますね!

例えば、

  1. \(1\) との距離を \(\displaystyle \frac{1}{10^{100}}\) 未満にして欲しいと設定されたとします。
  2. このとき、小数点以下に続く \(9\) の個数の基準を \(100\) 個と定めます。
  3. これより \(9\) の個数が多い場合の距離は \(\displaystyle \frac{1}{10^{101}}\), \(\displaystyle \frac{1}{10^{102}}\), \(\displaystyle \frac{1}{10^{103}}\) と続きます。
  4. これらは全て \(\displaystyle \frac{1}{10^{100}}\) より小さくなっていますね!

 

いかがでしょうか。先ほど、「小数点以下に続く \(9\) の個数をいくらでも多くすることによって、\(1\) との距離はいくらでも小さくすることができる」ことを確認しました。つまり、

\(1\) との距離をどんな正の数に設定されたとしても、
小数点以下に続く \(9\) の個数の基準を上手く定めることで、
それより \(9\) の個数が多い小数と \(1\) との距離を
初めに設定された距離よりも小さくすることができる

ことが言えるのです。

腑に落ちましたでしょうか?これが先に紹介した “\(0.999\cdots=1\) の等号が成り立つことの定義’’ と全く同じであることを確認してください。そうです、これで証明が完了したのです!!

 

\(0.999\cdots=1\) となることがなぜ納得できないのか。

さて、\(0.999\cdots=1\) が正しいことが証明されたので、基本的にはその事実を “認めざるを得ない’’ です。しかし、

「正しいこと」は「誤っていないこと」の理由になるの?

と思う方もいるかもしれません。理論上は根拠になりますが、納得できるほど直接的な理由になっていませんよね。以下、よくある “反論’’ について言及したいと思います。

\(0.999\cdots\) って特定の数にならないのでは?

\(0.999\cdots\) という数は
$$
0.999\cdots=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\cdots
$$のように “無限に’’ 足し算が続く数でしたが、途中で足し算を止めることは許されません。しかし、\(\displaystyle \frac{9}{10^3}\), \(\displaystyle \frac{9}{10^4}\), \(\displaystyle \frac{9}{10^5}\) という正の数を足し続けるので

「増加し続けた末に向かう数」

が \(0.999\cdots\) になるのです。

では、そのような数が存在するかというと、存在します。今回のように「増加し続ける無限の操作の末に向かって行く先」を考えるときに

「その操作をいくら繰り返しても超えようのない数が存在する」

ならば、行き先が数として存在することが言えるのです!(厳密には、実数の連続性から導かれる「上に有界な単調増加数列は収束すること」に因ります。)

例えば、今回の小数はいくら \(9\) を続けても「\(1\) を超えることはあり得ません」。そんな数「\(1\)」が存在するので “行き先が数として存在すること’’ が言えます。

ここでポイントになるのは「行き着く先」ではなく「行き先」であるということです。そう、辿り着く必要はないのです。どこに辿り着いたかではなく、どこに向かっているかを表すのです。

\(0.999\cdots\) と \(0.99\cdots9\) の違いがわからない!

\(0.999\cdots\) は先ほど述べたように「\(9\) を続ける行為を途中で止めることは許されません」。それによって、その行為によって数が向かう行き先になっている数を表しているのです。

一方で、\(0.99\cdots9\) は「\(9\) を続ける行為を途中で止めたもの」です。途中でやめているので、どこに向かっているかではなく辿り着いた数を表します。明らかに \(1\) まで到達していないので、\(0.99\cdots9<1\) が成り立つのです。

これを “\(0.999\cdots<1\)’’ と混同して「“\(0.999\cdots=1\)’’ に納得いかない!」と感じている方も多いかもしれません。「無限に操作を続けることで向かっている数」と「途中で操作をやめて辿り着いた数」の区別を明確にしましょう。

\(0.999\cdots\) は \(1\) の “直前の’’ 数なのでは?

\(0.999\cdots\) が、\(9\) を続けた末に向かっている数であることはわかりましたね。しかし、途中の \(0.99\cdots9\) は全て \(1\) 未満なのです。では、「\(0.999\cdots\) も \(1\) 未満のとある数なのでは?」という疑問が生じます。

ただ、それは許されません。

アルキメデス性について説明した際にも述べましたが、小数点以下に続く \(9\) の個数を多くすれば、いくらでも \(1\) との距離を小さくすることができます。つまり、小数点以下に続く \(9\) の個数を十分に多くしてゆけば、\(1\) 未満に仮定されたとある数 \(0.999\cdots\) は必ず追い抜かれてしまうのです。故に、\(0.999\cdots\) は「\(1\) 未満の数であってはならない」のです。

そもそも \(1\) なら「\(1\)」って書くでしょ!

仰る通り。\(1\) であるなら「\(1\)」と書けば良いのです。

しかし、よく考えてみると、\(1\) という数は分数を許せば \(\displaystyle \frac{2}{2}\) や \(\displaystyle \frac{3}{3}\) という複数の表記を持ちます。そう、視野を広げれば数が複数の表記を持つことは決して珍しくないのです。

ただ、「無限小数ではそのようなことが起こると知らなかった」のです。恐らくそれは、有限小数ではそのようなことが起きなかったからでしょう。有限で起こらなかった出来事を、勝手に無限でも起きないと思い込んでいたのです。無限というのは厄介で、時に直感に反することが起こるので注意が必要です。

 

最後に

今回は、私が小学生の頃に出会ったなぞなぞをきっかけにして

  1. \(0.999\cdots=1\) であることを証明すること
  2. \(0.999\cdots=1\) に対する反論に答えること

について述べてきました。

本記事で証明された事実から、厳密に
$$
2.999\cdots=3
$$が成り立ちます。“\(2.999\cdots\)” は「ほぼ \(3\)」(保母さん)ではなく「\(3\) ちょうど」(\(3\) 兆度!?)だったわけです。こっちを利用したなぞなぞがあっても良いかもしれませんね。

AkiyaMath

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