本日、2022年2月23日は「天皇誕生日」ですね。天皇陛下は王（King）ではなく、世界で唯一の皇帝（Emperor）であると言われています。そんな Emperor（エンペラー）の頭文字は「\(e\)」ですね…。
今回はネイピア数 \(e\) が現れる面白い不定積分を紹介し、それを基に、似た不定積分を作り出してみようと思います。ここで、ネイピア数 \(e\) に関しては無限和
$$e=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}$$
の形で書けることは認めるものとします。（この説明は前回の記事をご覧ください。）
では早速、その不定積分の紹介から始めましょう。
本記事で考える不定積分の紹介
今回、紹介したい不定積分はこちらです。
$$\int x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\cdots}}}\,dx$$
ここまでで「ネイピア数が \(e\) 現れる」と言ってしまっている以上、それがヒントとなってしまいますが、ぜひご自身で考えてみてください。
答えを知りたい方は、先に進みましょう。
実際に計算してみよう！
被積分関数の整理
被積分関数がややこしいので整理しておきましょう。指数法則を上手く用いて
\begin{align}
x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\cdots}}}
&=x\left(x\left(x\left(x\cdots\right)^\frac{1}{4}\right)^\frac{1}{3}\right)^\frac{1}{2}\\
&=x\times x^\frac{1}{2}\left(x\left(x\cdots\right)^\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}}\\
&=x\times x^\frac{1}{2}\times x^{\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}}\left(x\cdots\right)^{\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}}\\
&=x\times x^\frac{1}{2}\times x^{\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}}\times x^{\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}}\times\cdots\\
&=x^\frac{1}{1!}\times x^\frac{1}{2!}\times x^\frac{1}{3!}\times x^\frac{1}{4!}\times\cdots
\end{align}と書くことができると、何か希望の光が見えてくるかもしれません。
指数部分の書き換え
各指数部分に階乗の逆数が現れましたので、引き続き指数法則を用いてみると
\begin{align}
x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\cdots}}}
&=x^\frac{1}{1!}\times x^\frac{1}{2!}\times x^\frac{1}{3!}\times x^\frac{1}{4!}\times\cdots\\
&=x^{\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots}\\
&=x^{-1+\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots}\\
&=x^{-1+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}}\\
&=x^{-1+e}\\
&=x^{e-1}
\end{align}となります！
なんと、被積分関数は \(x^{e-1}\) であったのです。ここまで変形できれば積分が計算できますね。実際にやってみましょう。
積分の計算
今までの計算を用いると、\(C\) を積分定数として
$$\int x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\cdots}}}\,dx=\int x^{e-1}\,dx=\frac{x^e}{e}+C$$
と計算できるのです！！
類題を作ってみよう！
どんな原理であったか
この積分は、指数関数 \(e^x\) のマクローリン展開
$$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$$
において、\(x=1\) とすることで右辺の冪の部分が消え
$$e=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}$$
となったので、これを \(x\) の右肩の上に乗せることで
$$x^e=x^{\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}}=x^2\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\cdots}}}$$
となることを利用したものでした。
では、同様にマクローリン展開が “いい感じ” の関数を用いて計算してみましょう。
双曲線関数で作ってみる
双曲線関数は以下のようにマクローリン展開できます。
\begin{align}
\cosh x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\
\sinh x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\end{align}
よって、\(x=1\) としてみると
\begin{align}
\cosh 1&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n)!}\\
\sinh 1&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)!}
\end{align}となりますから、各々を \(x\) の右肩に乗せてみると
\begin{align}
x^{\cosh 1}
&=x^{\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n)!}}\\
&=x^{\frac{1}{0!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{6!}+\cdots}\\
&=x^{1+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3\times4}\left(1+\frac{1}{5\times6}\left(1+\cdots\right)\right)\right)}\\
&=x\sqrt{x\sqrt[3\times4]{x\sqrt[5\times6]{x\cdots}}}
\end{align}や
\begin{align}
x^{\sinh 1}
&=x^{\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)!}}\\
&=x^{\frac{1}{1!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{7!}+\cdots}\\
&=x^{1+\frac{1}{2\times3}\left(1+\frac{1}{4\times5}\left(1+\frac{1}{6\times7}\left(1+\cdots\right)\right)\right)}\\
&=x\sqrt[2\times3]{x\sqrt[4\times5]{x\sqrt[6\times7]{x\cdots}}}
\end{align}を得ます。これより
\begin{align}
\int \sqrt[1\times2]{x\sqrt[3\times4]{x\sqrt[5\times6]{x\cdots}}}\,dx&=\int x^{\cosh 1-1}\,dx=\frac{x^{\cosh 1}}{\cosh 1}+C\\
\int \sqrt[2\times3]{x\sqrt[4\times5]{x\sqrt[6\times7]{x\cdots}}}\,dx&=\int x^{\sinh 1-1}\,dx=\frac{x^{\sinh 1}}{\sinh 1}+C
\end{align}が成り立つのです！
三角関数で作ってみる
三角関数でも同様に考えてみましょう。但し、各項が正とは限らないことに注意が必要です。
双曲線関数は以下のようにマクローリン展開できます。
\begin{align}
\cos x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\
\sin x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
\end{align}
よって、\(x=1\) としてみると
\begin{align}
\cos 1&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}\\
\sin 1&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}
\end{align}となりますから、各々を \(x\) の右肩に乗せてみると
\begin{align}
x^{\cos 1}
&=x^{\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}}\\
&=x^{\frac{1}{0!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}+\cdots}\\
&=x^{1-\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3\times4}\left(1-\frac{1}{5\times6}\left(1-\cdots\right)\right)\right)}\\
&=\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt[3\times4]{\frac{x}{\sqrt[5\times6]{\frac{x}{\cdots}}}}}}}
\end{align}や
\begin{align}
x^{\sin 1}
&=x^{\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}}\\
&=x^{\frac{1}{1!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\cdots}\\
&=x^{1-\frac{1}{2\times3}\left(1-\frac{1}{4\times5}\left(1-\frac{1}{6\times7}\left(1-\cdots\right)\right)\right)}\\
&=\frac{x}{\sqrt[2\times3]{\frac{x}{\sqrt[4\times5]{\frac{x}{\sqrt[6\times7]{\frac{x}{\cdots}}}}}}}
\end{align}を得ます。これより
\begin{align}
\int \frac{1}{\sqrt[1\times2]{\frac{x}{\sqrt[3\times4]{\frac{x}{\sqrt[5\times6]{\frac{x}{\cdots}}}}}}}\,dx&=\int x^{\cos 1-1}\,dx=\frac{x^{\cos 1}}{\cos 1}+C\\
\int \frac{1}{\sqrt[2\times3]{\frac{x}{\sqrt[4\times5]{\frac{x}{\sqrt[6\times7]{\frac{x}{\cdots}}}}}}}\,dx&=\int x^{\sin 1-1}\,dx=\frac{x^{\sin 1}}{\sin 1}+C
\end{align}が成り立つのです！！
最後に
今回は、指数関数や三角関数、双曲線関数のマクローリン展開を背景とした \(\displaystyle \frac{x^\alpha}{\alpha}+C\) の形になる不定積分を見てきました。
ここまで見てこなかった対数関数 \(\log\) や、三角関数や双曲線関数の中でも \(\tan\) や \(\tanh\) ではどのようなことが起こるでしょうか？
是非、考えてみてください。
コメント