「iのi乗」は実数か？虚数か？それとも…。証明せよ！〜指数の拡張〜

数にはさまざまな “世界’’ があります。

例えば、自然数（正の整数）、整数、有理数、実数、複素数がよく知られていますね。

そんな数たちに対して様々な計算を行うことができるのですが、今回は「冪乗（べきじょう）の計算」に着目したいと思います。

例えば、 $3^4=81$ などの自然数の自然数乗は必ず自然数になります。

しかし、自然数ではない整数を含むと $\displaystyle 2^{-3}=\frac{1}{8}$ となるので整数の世界から飛び出すことがあります。

また、整数ではない有理数を含むと $5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ となるので有理数の世界から飛び出すことがあります。

このように、冪乗の計算をすると「その数の “外の世界” に進出すること」が少なくありません。

そんな中で扱いたいのが $i$ の $i$ 乗「 $i^i$ 」です。

ここで、$i$ は虚数単位とします。

高校数学では扱わない冪乗の計算ですが、この計算結果は次のうちどれになると思いますか？

複素数の世界から飛び出る。
複素数の世界に留まるが、虚数となる。
複素数の世界に留まり、さらに実数となる。

さあ、この問の答えを確かめましょう。

実数までの冪乗の復習
冪乗を複素数へ拡張しよう
問の答え
最後に

実数までの冪乗の復習

指数が自然数、整数、有理数、実数である冪乗の定義についてはこちらの記事「「0の0乗」計算できますか？　〜取り扱いには注意しよう〜」で詳しく解説していますので、不安な方はこちらからご覧ください。

冪乗を複素数へ拡張しよう

この章では、高校数学までの知識の下、冪乗を複素数の範囲まで拡張しようと思います。

初めに、実関数に対するマクローリン展開について形式的に導入します。

その後、オイラーの公式を紹介してから指数関数 $e^z$ を定義します。

続いて、対数関数 $\log z$ を定義した後、一般の冪乗 $a^b$ を定義します。

実数に対しては逆順で冪乗から対数関数を定義したので、その違いも感じられると良いと思います。

実関数のマクローリン展開

何回でも微分できる関数 $f(t)$ を考えます。

これが “次数無限大’’ まで許した多項式によって表そうと試みます。

つまり、
\begin{align}
f(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+\cdots+a_nt^n+\cdots\tag{1}
\end{align}と、無理矢理に書いてやろうとするのです。

例えば、

$f(t)$ において $t=0$ とすると $a_0=f(0)$
$f^\prime(t)$ において $t=0$ とすると $a_1=f^\prime(0)$
$f^{\prime\prime}(t)$ において $t=0$ とすると $a_2=2f^{\prime\prime}(0)$
$f^{(n)}(t)$ において $t=0$ とすると $a_n=n!f^{(n)}(0)$

となります。

よって、関数 $f(t)$ が式 (1) の形で表示できるならば
\begin{align}
f(t)
&=f(0)+f^\prime(0)t+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}t^2+\cdots\notag\\
&\qquad\qquad\qquad\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}t^n+\cdots\tag{2}
\end{align}となります。

これを、関数 $f(t)$ の「マクローリン展開」と呼びます。

例えば、具体的に指数関数 $e^t$、三角関数 $\sin t$ と $\cos t$ のマクローリン展開を計算してみると
\begin{align}
e^t&=1+t+\frac{1}{2}t^2+\cdots+\frac{1}{n!}t^n+\cdots\tag{3}\\
\sin t&=t-\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{120}t^5-\cdots\notag\\
&\qquad\quad\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n+1}+\cdots\tag{4}\\
\cos t&=1-\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{24}t^4-\cdots\notag\\
&\qquad\qquad\quad\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}t^{2n}+\cdots\tag{5}
\end{align}となります。

大学入試でもこれらを題材にした問題が存在するので、形に見覚えのある方もいるかもしれませんね。

オイラーの公式と指数関数

指数関数 $e^t$ のマクローリン展開である式 (3) に $t=iy$ を代入してみます。

ここで、$i$ は虚数単位で、$y$ は実数とします。

このとき、実部と虚部に分けると、式 (4) 及び式 (5) より
\begin{align}
e^{iy}
&=1+iy+\frac{1}{2!}(iy)^2+\frac{1}{3!}(iy)^3+\frac{1}{4!}(iy)^4+\cdots\\
&=1+iy-\frac{1}{2!}y^2-\frac{1}{3!}iy^3+\frac{1}{4!}y^4+\cdots\\
&=\left(1-\frac{1}{2!}y^2+\frac{1}{4!}y^4+\cdots\right)\\
&\qquad+i\left(y-\frac{1}{3!}y^3+\frac{1}{5!}y^5+\cdots\right)\\
&=\cos y+i\sin y
\end{align}となります。

この公式
\begin{align}
e^{iy}=\cos y+i\sin y\tag{6}
\end{align}を「オイラーの公式」と呼びます。

オイラーの公式によって、複素数の極形式は
\begin{align}
z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}\tag{7}
\end{align}と書くことができます。

このオイラーの公式を用いて、複素数 $z=x+iy$ に対して、指数関数
\begin{align}
e^z=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\tag{8}
\end{align}が定義されます。

ここで、オイラーの公式より $e^{iy}$ は周期 $2\pi$ を持ちます。

つまり、任意の複素数 $z$ と整数 $n$ について
\begin{align}
e^{z+2n\pi i}=e^z\tag{9}
\end{align}が成り立ちます。

複素数に対する対数の定義

複素数に対しても、対数関数は指数関数の逆関数のように定義したいと思います。

つまり、複素数の変数 $z\neq0$, $w$ に対して
\begin{align}
w=\log z\ \Longleftrightarrow\ z=e^w\tag{10}
\end{align}と定義します。

この対数関数を計算するために少し考察しましょう。

式 (10) において、$z=re^{i\theta}$, $w=u+iv$ とおいてみると
$$
re^{i\theta}=e^{u+iv}
$$となります。

両辺の絶対値を比較すると $r=e^u$ より $u=\log r$ となります。

また、両辺の偏角を比較すると式 (9) より $v=\theta+2m\pi$ ($m$ は整数) と書けます。

以上より、複素数 $z=re^{i\theta}$ に対して
\begin{align}
\log z=\log r +i(\theta+2m\pi)\quad(m \mbox{は整数})\tag{11}
\end{align}と計算できるのです。

例えば、$z=1+i=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i}$ に対して
\begin{align*}
\log z
&=\log \sqrt{2} +i\left(\frac{\pi}{4}+2m\pi\right)\quad(m \mbox{は整数})\\
&=\frac{1}{2}\log 2 +\frac{8m+1}{4}\pi i\quad(m \mbox{は整数})
\end{align*}と計算できます。

違和感のある方もいらっしゃるかもしれません。

そうです。

関数値に整数 $m$ が含まれており、値が唯一つには定まらないのです。

このように、複数の値をとる関数のことを多価関数といいます。（対して、普通の関数を一価関数といいます。）

正の実数に対する対数関数は一価ですが、$0$ でない複素数に拡張すると多価になってしまうのです。

複素数の冪乗の定義

さて、複素数の冪乗を定義しましょう。

今までに定義した指数関数と対数関数を用いて定義します。

正の実数に対して、冪乗の底を変換する公式を思い出しましょう。

対数の定義から直ちに従うこととして、$a>0$ ならば
$$
a^b=e^{b\log a}
$$が成り立ちますね。

まさにこれを利用して、複素数に対する冪乗を定義するのです。

$a\neq0$, $b$ を複素数とします。

このとき、
\begin{align}
a^b=e^{b\log a}\tag{12}
\end{align}によって冪乗を定義します。

例えば、先程の結果を使うと
\begin{align*}
i\log(1+i)
&=i\left(\frac{1}{2}\log 2 +\frac{8m+1}{4}\pi i\right)\quad(m \mbox{は整数})\\
&=-\frac{8m+1}{4}\pi+i\frac{1}{2}\log 2\quad(m \mbox{は整数})
\end{align*}であるので、冪乗の定義より
\begin{align*}
(1+i)^i
&=e^{i\log(1+i)}\\
&=e^{-\frac{8m+1}{4}\pi+i\frac{1}{2}\log 2}\quad(m \mbox{は整数})
\end{align*}と計算できるのです。

冪乗は対数関数を用いて定義されています。

対数関数は多価でしたので、一見、定数に見える $(1+i)^i$ ですが、複数の値をとることに注意しなければなりません。

さあ、準備は完了しました。

冒頭の問に答えましょう！

問の答え

まず、$i\neq0$ ですので、冪乗 $i^i$ は定義され、その値は複数とるでしょうが複素数です。

この時点で、選択肢Aは誤りとなります。

では、実際に計算してみましょう。

$i=e^{\frac{\pi}{2}i}$ ですから
\begin{align*}
\log i
&=\log 1 +i\left(\frac{\pi}{2}+2m\pi\right)\quad(m \mbox{は整数})\\
&=\frac{4m+1}{2}\pi i\quad(m \mbox{は整数})
\end{align*}と計算できます。

よって、
\begin{align*}
i\log i=-\frac{4m+1}{2}\pi\quad(m \mbox{は整数})
\end{align*}であるので、累乗の定義より
\begin{align*}
i^i
&=e^{i\log i}\\
&=e^{-\frac{4m+1}{2}\pi}\quad(m \mbox{は整数})
\end{align*}と計算できるのです。

なんと、$i^i$ は実数となりました！

これより、選択肢Bも誤りで「選択肢Cが正しい」ことがわかりましたね。

ちなみに、$m=0$ の場合だけを考えると
\begin{align*}
i^i
&=e^{-\frac{\pi}{2}}\\
&=0.20787957635\cdots
\end{align*}という値をとります。（Google などに計算させると、この値を返します。）

これを $i^i$ の主値といいます。