３次方程式の解の公式（第５弾）〜入試問題を作って自由に遊ぼう！〜

前回までは、３次方程式の解の表示について徹底的に考察してきました。今回は、今までに得た知識を用いて「自分だけの入試問題」を作成することを目指します。強力な遊び道具を手にした我々は、新しい遊びを覚え、暇な時間を潰してゆくことでしょう。

本題に入る前に
$$
\sqrt[3]{\frac{10\sqrt{3}}{9}-2}-\sqrt[3]{\frac{10\sqrt{3}}{9}+2}
$$を簡単にせよ、という問題は解くことができますか？

本記事ではこのような問題を自作します。勿論、解き方も説明するのでご安心ください。（作問できるのだから解けて当たり前だと切り捨てたりはしません。）

本記事は【３次方程式の解の公式シリーズ】の第５弾（最終）です。

第１弾はこちら「３次方程式の解の公式（第１弾）　〜カルダノの公式〜」
第２弾はこちら「３次方程式の解の公式（第２弾）　〜三角関数で解を記述しよう！〜」
第３弾はこちら「３次方程式の解の公式（第３弾）　〜双曲線関数でも解を記述できる！？〜」
第４弾はこちら「３次方程式の解の公式（第４弾）　〜解の見事な配置〜」

問題作成に用いる３次方程式の知識
問題を作ってみよう！
問題を解いてみよう！
他の例も知りたいという方へ
最後に

問題作成に用いる３次方程式の知識

実数係数の３次方程式
$$
x^3-3px-2q=0
$$（但し、$p\neq0$ とする）を考えます。ここで、$D=-(q^2-p^3)$ とおきます。$D<0$ のとき、この方程式は唯一つの実数解を持っていましたね。

一方、カルダノの公式
\begin{align*}
x&=u+v,&
\begin{cases}
u^3=q+\sqrt{-D}\\
v=\dfrac{p}{u}
\end{cases}
\end{align*}において、$u^3＝q+\sqrt{-D}$ は実数ですので、これを満たす唯一つの実数 $u$ を
$$
u＝\sqrt[3]{q+\sqrt{-D}}
$$と書くことができます。この $u$ に対応する実数 $v$ は
$$
v＝\frac{p}{\sqrt[3]{q+\sqrt{-D}}}＝\sqrt[3]{q-\sqrt{-D}}
$$と書くことができます。よって、
$$
x=u+v=\sqrt[3]{q+\sqrt{-D}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{-D}}
$$は元の方程式の実数解となるのです。

以上より、$D<0$ となるように定めた実数 $p\neq0$, $q$ に対して

($x^3-3px-2q=0$ の実数解)$\ =\sqrt[3]{q+\sqrt{-D}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{-D}}$

が成り立つのです！

問題を作ってみよう！

実際に、一緒に手を動かして問題を作成してみましょう！

実数解 $x=b$ を決める。

$b=7$ としてみます。

$D<0$ となる３次方程式 $f(x)=0$ を作る。

２次の項がない３次方程式で、$x=b$ を解に持つので
$$
f(x)=(x-b)(x^2+bx+c)
$$のような形をする必要がありますね。また、$D<0$ ということは、２次方程式 $x^2+bx+c=0$ は実数解を持ってはいけません。

つまり、判別式を考えると「$b^2<4c$」を満たす必要があります。そこで、$c=16$ としましょう。

このとき、
$$
f(x)=(x-7)(x^2+7x+16)=x^3-33x-112
$$となりますね。

その３次方程式 $f(x)=0$ から係数 $p,q$ を求める。

今、$f(x)=x^3-33x-112$ でしたから、３次式 $x^3-3px-2q$ と係数比較して $p,q$ を求めます。この場合は、
\begin{align*}
p&=11,&q&=56
\end{align*}ですね。

$-D$ を求めて公式に代入する。

さて、$-D$ を求めましょう。
$$
-D=q^2-p^3=56^2-11^3=5\times19^2
$$ですので、公式より
$$
b=\sqrt[3]{q+\sqrt{-D}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{-D}}
$$すなわち
$$
7=\sqrt[3]{56+19\sqrt{5}}+\sqrt[3]{56-19\sqrt{5}}
$$が得られます！

問題の完成！

以上で問題が作れましたね。

「$\sqrt[3]{56+19\sqrt{5}}+\sqrt[3]{56-19\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。」

答えは $7$ です。

問題を解いてみよう！

カルダノの公式を頭に思い浮かべながらとくとスムーズです。

立方根を $u,v$ とおく。

$u=\sqrt[3]{56+19\sqrt{5}}$, $v=\sqrt[3]{56-19\sqrt{5}}$ とおくと、求める値 $b$ は
$$
b=u+v
$$と書くことができます。

$p,q$ を求める。

カルダノの公式から、$p=uv$ ですので、少し頑張って計算すると
$$
p=uv=\sqrt[3]{56^2-19^2\times5}=11
$$となります。$q$ は “見た目’’ から $56$ ですね。（勿論、$b^3=(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)=2q+3pb$ を基に計算しても良いです。）