代数 円周率 π の近似値の求め方 〜ウォリスの公式であの東大入試を解く！？〜
みなさんは円周率を小数第何位まで言えますか？
多くの人が小学生の頃に \(3.14\) で代用して計算する機会があったと思いますが、過去の記事で「円周率 \(\pi\) が無理数である」ことを示したように、小数部分は循環することなく無...
代数
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代数 部分分数分解のリアルな計算のやり方。「正攻法で裏ワザを超えろ！！」
中学受験の算数から始まり、数列の和（数学B）や積分（数学III）の計算に至るまでつきまとう「部分分数分解」ですが、みなさんはどのように計算しますか？
恒等式の係数比較を行いますか？
具体的な数値を代入しますか？
裏ワザ...
代数 部分分数分解の全ての「なぜ？」に可換環論で答える。「声に出して読みたい…」
もし仮に
“ 声に出して言いたい数学用語ランキング ”
があるとすれば、高校数学部門では
「部分分数分解」
（ぶぶんぶんすうぶんかい）
などが、大学数学部門では
「可換環論」
（かかんかんろん）
などが上位にランクインしてく...
代数 ホーナー法と組立除法について考える。 〜みんなの「なぜ？」を大切に〜
みなさんは「組立除法」は好きですか？
組立除法は因数分解などで役に立ちますね。通常の筆算を行わず、計算を行う回数が少ないことがメリットであるわけです。
好きと答えたみなさんの中で、なぜ組立除法で商や余りが求められるのか正しく説明できる方...
代数 円周率「π」は割り切れない？無理数？ 〜どこよりも丁寧に背理法で証明〜
クリスマスイブである本日は
「円周率 \(\pi\) が無理数であること」
を証明したいと思います！
本記事では1947年に発表されたイヴァン・ニーベンという数学者による証明をご紹介します。この方法では、高校数学の知識のみで証明するこ...
代数 なぜ任意の集合の部分集合になるのか？ 〜空集合の公理から証明する〜
今回のテーマは「空集合」です。高校数学の数学Iの教科書で
「空集合は、どんな集合に対しても、その部分集合であると約束する。」
と書かれることのある空集合ですが、なぜそのように約束しようと思ったのでしょうか？これが納得できずに躓いてしまう...
代数 分母の有理化っていつもできるの？？ 〜ユークリッドの互除法の応用〜
今回のテーマは「分母の有理化」です。中学３年生で平方根について学び、初めて有理化を学びます。その後、高校数学では展開公式を用いた複雑な有理化を学びますね。
本記事では
「累乗根を含む分数の分母の有理化はいつもできるのか」
という疑問に...
代数 ３次方程式の解の公式（第５弾） 〜入試問題を作って自由に遊ぼう！〜
前回までは、３次方程式の解の表示について徹底的に考察してきました。今回は、今までに得た知識を用いて「自分だけの入試問題」を作成することを目指します。強力な遊び道具を手にした我々は、新しい遊びを覚え、暇な時間を潰してゆくことでしょう。
...
代数 ３次方程式の解の公式（第４弾） 〜二次曲線上における解の見事な配置〜
３次方程式の解の記述として、代数的に導かれるカルダノの公式を元にして、三角関数を用いた表示（ビエトの解）と双曲線関数を用いた表示が可能であることを見てきました。
さて、三角関数は円を用いて、双曲線関数は双曲線を用いて定義されていました。そ...
代数 ３次方程式の解の公式（第３弾） 〜双曲線関数でも解を記述できる！？〜
３次方程式の解の公式として、代数的に導かれるカルダノの公式と、三角関数を用いたビエトの解がありました。そのカルダノの公式については（\(p\neq0\) における）一般的な解の公式になっていましたが、ビエトの解については「\(q^2-p^3...