「1+1=2」を証明してみよう! 〜まず、ペアノの公理から始めよ。〜

代数

しばしば、最も簡単であるとされる計算「1+1=2」ですが、みなさんはそうなる理由を説明できますか?

団子やりんごの個数を数えて説明するでしょうか。

証明は難しいということだけは聞いたことがある、という方もいらっしゃるかもしれません。

 

個数を数える説明では直感に訴える部分も多く、曖昧さが付きまといます。

そこで数学では、議論の出発点である定義を厳密に定めるのです。

一見、話が複雑になるように思えますが、定義を明確にすることで曖昧さが払拭され、見通しが良くなります。

このように、定義をして議論を進めてゆくことは数学の根幹をなすので、数学をする際の醍醐味の一つとして楽しんでみてください。

 

定義に立ち返ることの重要性については、こちらの記事「定義 〜数学を通して学ぶ問題解決力〜」をご覧ください。

 

今回の記事では、「1+1=2」の数学的な証明の雰囲気だけでも感じていただければと思います。

 

証明するための観察

「\(1+1=2\)」のような、当たり前に見える数式を示すときは、現れる記号の意味を明らかにして、証明で使える道具を明確にすることが重要です。

“\(1\)” や “\(2\)” は我々が普段から用いている自然数ですので、そもそも “自然数とは何か’’ を明らかにする必要がありますね。

また、現れる記号として “\(1\)”, “\(2\)”, “\(+\)” の定義も明確にさせなくてはいけません。

逆に言えば、証明の道具として使えるものはそれくらいであって、これらの意味や定義の分析が大きな鍵となるのです。

 

自然数を特徴付ける条件

ペアノの公理とは

集合論と呼ばれる分野などでは、自然数に「\(0\)」を含める流儀がありますので、本記事ではそれに従いたいと思います。

自然数は以下の条件を満たします。ここで、自然数全体を \(\mathbb{N}\) と書くことにします。

  1. 自然数 \(0\) が存在する。
  2. 任意の自然数 \(n\) にはその後者と呼ばれる自然数 \({\rm suc}(n)\) が存在する。(\({\rm suc}\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) を後者関数と呼ぶ。)
  3. \(0\) を後者に持つ自然数は存在しない。
  4. 異なる自然数は異なる後者を持つ。
  5. 数学的帰納法の原理が成り立つ。すなわち、部分集合 \(X\subset\mathbb{N}\) について
    「\(0\in X\)」かつ「\(k\in X \Rightarrow{\rm suc}(k)\in X\)」
    となるならば \(X=\mathbb{N}\) が成り立つ。

これらをまとめて「ペアノの公理」(ぺあののこうり)といいます。

逆に、このペアノの公理を満たす集合は一意的に定まるので、これ(ペアノの公理)によって自然数が定義できることになるのです。

ここで詳細に述べることは避けますが、そのイメージができるように次の項で説明をしたいと思います。

ペアノの公理のイメージ

集合 \(N\) がペアノの公理を満足するとしましょう。

条件1 〜 “\(0\)” が存在する〜

条件1より、\(0\) という \(N\) の要素が存在します。

他の要素 \(a\) や \(b\) などが存在するかもしれないので、以下のような状態になります。
\begin{align*}
\begin{array}{cccccccc}
a&&0&&b&&c&\\
d&&e&&&&&\\
f&&g&&h&&i&
\end{array}
\end{align*}

条件2 〜必ずひとりの後者が続く〜

条件2より、どの \(N\) の要素からも、後者である他の要素に向かう矢印 \(\to\) が唯一つずつ存在します。

例えば、次のような矢印の付き方があります。(実際はループする矢印を書いても良いのですが、この後、その可能性は排除されるので、この段階で無視してしまうことにします。)
\begin{align*}
\begin{array}{ccccccccc}
\cdots\to&a&\to&0&\to&b&\to&c&\to\cdots\\
&&&&\nearrow&&&&\\
\cdots\to&d&\to&e&&&&&\\
&f&\to&g&\to&h&\to&i&\to\cdots
\end{array}
\end{align*}

条件3 〜 \(0\) は必ず先頭である〜

条件3より、先ほど考えた後者を表す矢印の中で、\(0\) に向かってくる矢印は存在しないことが言えます。

つまり、\(0\) は先頭になっているので \(a\) 以前の部分は存在しませんが、以下の \(f\) のように他にも先頭があるかもしれません。
\begin{align*}
\begin{array}{ccccccccc}
&&&0&\to&b&\to&c&\to\cdots\\
&&&&\nearrow&&&&\\
\cdots\to&d&\to&e&&&&&\\
&f&\to&g&\to&h&\to&i&\to\cdots
\end{array}
\end{align*}

条件4 〜ひとりの後者にしかなれない〜

条件4より、後者関数 \({\rm suc}\) は単射であることが言えます。

つまり、どの要素に対しても向かってくる矢印は高々一つということですので、複数の要素の後者に同時になることはできません。

\(b\) は \(0\) の後者なので \(e\) の後者にはなり得ず、\(e\) 以前の部分は存在しません。

徐々に形が限定されてきましたね。
\begin{align*}
\begin{array}{cccccccc}
&&0&\to&b&\to&c&\to\cdots\\
f&\to&g&\to&h&\to&i&\to\cdots
\end{array}
\end{align*}

条件5 〜数学的帰納法の原理〜

条件5より、数学的帰納法の原理が成り立ちます。

これにより、上で見た \(0\) を先頭とした列と \(f\) を先頭とした列のうち、生き残るのが \(0\) を先頭とした列だけであることが言えます。

実際、\(0\) を先頭とした列の要素からなる集合を \(X\) とします。

このとき、「\(0\in X\)」かつ「\(k\in X \Rightarrow{\rm suc}(k)\in X\)」が成り立つことがわかるので、仮定された数学的帰納法の原理より \(X=N\) が成り立ちます。

これは、\(0\) を先頭とした列以外に \(N\) には列が存在しないことを意味します。
\begin{align*}
\begin{array}{ccccc}
0&\to&b&\to&c&\to\cdots
\end{array}
\end{align*}

 

以上のようにして、ペアノの公理によって \(0\) から始まり無限に続く一つの列からなる \(N\) が構成されました。

これが自然数全体 \(\mathbb{N}\) に他ならないというわけです。

イメージはできましたでしょうか?


\begin{align*}
0\ \xrightarrow{{\rm suc}}\ b\ \xrightarrow{{\rm suc}}\ c\ \xrightarrow{{\rm suc}}\ \cdots
\end{align*}

 

ここまで見てもらってもわかるように、ペアノの公理では加法 “\(+\)” は疎か、“\(1\)” や “\(2\)” すら定義されません。

自然数の構成ができたところで、証明に直接関わってくる “\(1\)” や “\(2\)” 、及び加法 “\(+\)” について見てゆきたいと思います。

 

「\(1+1=2\)」に現れる記号の意味

“\(1\)” とは、“\(2\)” とは、

まず、現れる数である “\(1\)” と “\(2\)” の定義をしましょう。定義は至って簡単です。

  • \(1\) とは \(0\) の後者である。すなわち、\(1={\rm suc}(0)\) と定義する。
  • \(2\) とは \(1\) の後者である。すなわち、\(2={\rm suc}(1)\) と定義する。

つまり、今までの図を使えば
\begin{align*}
0\ \xrightarrow{{\rm suc}}\ 1\ \xrightarrow{{\rm suc}}\ 2\ \xrightarrow{{\rm suc}}\ \cdots
\end{align*}

と定義するわけです。

あくまでも後者関数 \({\rm suc}\) を使った定義であって、加法は用いていません。

加法 “\(+\)” とは

次に、自然数の加法については、以下によって再帰的に定義されます。

  1. 任意の自然数 \(m\) に対して、\(m+0=m\) となる。
  2. 任意の自然数 \(m\), \(n\) に対して、\(m+{\rm suc}(n)={\rm suc}(m+n)\) となる。

例えば、\(3+2\) を計算したい場合は
\begin{align*}
3+2&=3+{\rm suc}(1)={\rm suc}(3+1)\\
3+1&=3+{\rm suc}(0)={\rm suc}(3+0)\\
3+0&=3
\end{align*}となるので、結局、\(3+2={\rm suc}({\rm suc}(3))\) (つまり、\(3+2\) は \(3\) の後者の後者である)と計算できるのです。

(ここで、「 “\(3\)” とは何者だ?」となったあなた、鋭いです。後ほど言及します。)

 

「\(1+1=2\)」を証明しよう!

証明

さて、証明を行いましょう。

ここまで準備すれば、証明は計算のみですので簡単です。

– – – – – 証明 – – – – –

\begin{align*}
1+1
&=1+{\rm suc}(0)&&\mbox{( “1” の定義より)}\\
&={\rm suc}(1+0)&&\mbox{(加法の定義 b より)}\\
&={\rm suc}(1)&&\mbox{(加法の定義 a より)}\\
&=2&&\mbox{( “2” の定義より)}
\end{align*}
– – – – – 証明終 – – – – –

証明からわかること

同様にして、任意の自然数 \(n\) に対して
\begin{align*}
{\rm suc}(n)={\rm suc}(n+0)=n+{\rm suc}(0)=n+1\tag{1}
\end{align*}が成り立ちます。

つまり、今までの図を使えば、ペアノの公理で与えられた \(\xrightarrow{{\rm suc}}\) という後者関数は、加法を定義することによって “\(+1\) をする’’ という操作に一致してしまうということです。


\begin{align*}
n\ \xrightarrow[+1]{{\rm suc}}\ \left\{\begin{array}{c}{\rm suc}(n)\\n+1\end{array}\right.
\end{align*}

 

よって、\(2={\rm suc}(1)\) だけでなく、
\begin{align*}
3&={\rm suc}(2),\\
4&={\rm suc}(3),\\
5&={\rm suc}(4), \cdots
\end{align*}などと記号を定義すれば、式 (1) において \(n=2,3,4\) とすることで
\begin{align*}
2+1&=3,\\
3+1&=4,\\
4+1&=5, \cdots
\end{align*}が直ちに示されるのです。

 

まとめ

今回は、最も簡単な計算とされる「\(1+1=2\)」の証明を行いました。

証明においては、「自然数 \(n\) に \(+1\) すること」が「 \(n\) の後者 \({\rm suc}(n)\) を求めること」に等しいという式 (1) がポイントとなっており、この性質は “\(1\)” の定義と加法の定義に因るものでした。

 

今回のように、証明したい事柄で用いられている概念の定義を明確にすることが重要であって、証明の鍵を握ることを感じていただけたかと思います。

他の数学の問題に取り組むときも、定義を明確にするということを意識すると明るい道筋が見えてくるかもしれません。



AkiyaMath

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